תרגול #7 עבודה ואנרגיה

תרגול #7 עבודה ואנרגיה בדצמבר 203 רקע תיאורטי עבודה עבודה מכנית המוגדרת בצורה הכללית ביותר באופן הבא: W = W = lf l i x f F dl x i F x dx + y f y i F y dy + z f z i F z dz היא כמות האנרגיה שמושקעת בגוף בעקבות כח F הפועל עליו, כאשר הגוף מבצע העתק כלשהו. l i ו ) i = (x i, y i, z dz) dl = (dx, dy, הוא אלמנט מסלול וקטורי בכיוון התנועה. ) f l f = (x f, y f, z הם וקטורי המיקום ההתחלתי והסופי בהתאמה. = dl F, כאשר θ היא הזוית F dl בתוך האינטגרל אנו מבצעים מכפלה סקלרית cos θ הקטנה בין שני הוקטורים. כאשר מדובר בכח קבוע, כלומר, כח שאינו תלוי בהעתק, אז מקבלים ביטוי יותר פשוט ונח לשימוש: lf lf W = F dl = F dl = F l = F l cos θ l i l i W = F l = F l cos θ בהינתן כח, נסו לחשוב מתי הוא אינו מבצע עבודה (2 אפשרויות)! יחידות יחידות אנרגיה/עבודה: [E] = [W ] = [F ] [ l] = N m = J ונקראית.Joule

אנרגיה לגוף כלשהו יש אנרגיה, אנרגיה זו יכולה להיות מסוגים שונים. דוגמאות לאנרגיות שונות: אנרגיה קינטית (תנועה), אנרגית גובה, אנרגית חם, אנרגיה אלסטית, אנרגיה כימית, אנרגיה גרעינית וכו'. בקורס זה נגדיר אנרגיה קינטית ואנרגיה פוטנציאלית (גובה ואלסטית), אולם לפני כן נעסוק במושג כח משמר. כח משמר ואנרגיה פונטנציאלית כח יקרא כח משמר אם העבודה שכח זה מבצע לאורך מסלול סגור שווה אפס. מתמטית, כח משמר יקיים: בצורה F d l = F d l = 0 C כאשר הסימון הוא אינטגרל על מסלול סגור, כלומר נקודת ההתחלה ונקודת הסיום היא c אותה נקודה.l i = l f = כח משמר ניתן לתיאור על ידי פונקציה שהיא סקלר U (בניגוד לכח שהוא וקטור). הקשר בין השניים הוא: F = du dl או לחילופין, ניתן לקבל את U מתוך הכח F: U = F dl כאשר את קבוע האינטגרציה אנו קובעים להיות = 0 0 U, נקודה בה האנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת. הסיבה היא שהגודל הפיסיקלי שמשמעותי הוא הפרשי אנרגיה = כמות האנרגיה שמושקעת/מתקבלת. לכן באנרגיה פוטנציאלית עלינו תמיד לבחור נקודה/קו ייחוס לאורכו היא מתאפסת. בחירה זו היא שרירותית אך חשוב לבחור אותה נכון כדי להקל על פתרון הבעיה. הפרש אנרגיה פוטנציאלית בין שתי נקודות התחלתית וסופית: lf U = U f U i = F dl = W l i אנרגיה קינטית אם לגוף יש מסה m ומהירות v, אזי תהיה לו אנרגיה קינטית שמחושבת על פי: E k = K = 2 mv2 2

אנרגיה פוטנציאלית אנרגיה שניתן להגדיר עבור כח משמר. בקורס זה נדבר בעיקר על שניים: א. אנרגיה פוטנציאלית כובדית בשדה אחיד (אנרגית גובה) כאשר אנו מרימים או מורידים חפץ לגובה מסויים כח הכבידה מבצע עבודה W g חיובית/שלילית וזו מוחסרת/מתווספת לגוף בצורה של אנרגיה פוטנציאלית U: g U g = W g = F g y = mg (y y 0 ) = {y 0 = 0} = mgy אם y > y 0 נקבל שהאנרגיה הפוטנציאלית גדלה אם y < y 0 נקבל שהאנרגיה הפוטנציאלית קטנה הנקודה y 0 היא נקודת הייחוס, בה אנרגית הגובה מתאפסת. נקודה זו היא שרירותית. ב. אנרגיה פונטציאלית של קפיץ (אנרגיה אלסטית) כאשר מותחים או מכווצים גוף המחובר לקפיץ, כח הקפיץ מבצע עבודה W sp חיובית/שלילית וזו מוחסרת/מתווספת לגוף בצורה של אנרגיה U: sp U sp = W sp = [ k (x x 0 )] dx = {x 0 0} = kxdx = 2 kx2 x 0 היא הנקודה שבה הקפיץ אינו מתוח או מכווץ (נק' שיווי משקל בה הכח האלסטי שווה אפס). בחרנו נקודה זו להיות נקודת הייחוס, כלומר = 0 0 x. אף נקודה זו היא שרירותית, אך מכיוון שהיא מאוד נוחה כמעט תמיד נבחר נקודה זו להיות נק' הייחוס. משפט עבודה אנרגיה ישנו קשר בין העבודה המכנית שנעשית על הגוף לבין השינוי באנרגיה הקינטית שלו: W = K = K f K i K f היא האנרגיה הקינטית במצב הסופי ו K i היא האנרגיה הקינטית במצב ההתחלתי, כאשר.K = 2 mv2 שימור אנרגיה אנרגיה מכנית של גוף E היא סכום האנרגיה הקינטית והאנרגיות הפוטציאליות E. = K U+ כאשר הכוחות משמרים (כגון, קפיץ וכבידה) סך האנרגיה הכוללת של הגוף נשמרת (נשארת קבועה) E, = const גם אם האנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית משתנות. E i = K i + U i E f = K f + U f E i = E f K i + U i = K f + U f K = U 3

ואז, השינוי באנרגיה הקינטית שווה למינוס השינוי באנרגיות הפוטנציאליות (קפיץ/גובה וכו'). כח לא משמר כאשר ישנו כח כך שמתקיים 0 l C F d, אזי הכח אינו משמר. העבודה שכח זה מבצע גורם לאיבוד באנרגיה הכוללת E והיא קטנה. כוחות חיכוך הם כוחות לא משמרים (חיכוך קינטי, כח גרר). E = E f E i = W nc כאשר W c היא העבודה הכוללת של הכוחות המשמרים (conservative) ו W nc היא העבודה הכוללת של הכוחות הלא משמרים.(non-conservative) איך אנו מקבלים זאת? נתחיל במשפט עבודה אנרגיה: W = K W = W c + W nc E = (K + U) = K + U K = E U W c + W nc = E U אולם, על פי הגדרה כח משמר אפשר לתאר באמצעות אנרגיה פוטנציאלית וקיים הקשר W, c = U לכן מפה מקבלים את התוצאה למעלה. הספק הספק היא קצב שינוי האנרגיה (בדיוק כמו שמהירות היא קצב שינוי ההעתק, ותאוצה היא קצב שינוי המהירות): P = dw dt ההספק שווה לאפס כאשר יש שימור אנרגיה. הספק יכול להיות שלילי, אם מדובר בבזבוז אנרגיה, כזה שמתרחש למשל כשיש כח חיכוך. הספק יכול להיות גם חיובי, למשל הספק מנוע שמאפשר למכונית ליסוע. ניתן גם לרשום את ההספק באופן שונה: P = dw dt = F dl dt = F v W = dw = מקבלים זאת על ידי הקשר: F dl dw = F dl 4

כוח מדומה ומערכת מאיצה (מערכת לא אינרציאלית) חוקי ניוטון והפיסיקה הנובעת מהם תקפה בכל מערכת ייחוס אינרציאלית בה נבחר. אולם, אם נבחר לרשום משוואת כוחות עבור גוף אשר מאיץ (מערכת לא אינרציאלית) אזי אנו נמצאים במערכת המנוחה של אותו גוף, כלומר הוא אינו מאיץ במע' זו. כאן בא השימוש של המושג כח מדומה. כח זה נבדל מהכוחות שראינו עד כה ב 2 אופנים: א. אינו מקיים את חוק הפעולה והתגובה, חוק 3 של ניוטון (וזאת מכיוון שאף אחד אינו מפעיל כח זה על הגוף). ב. שווה תמיד למכפלת מסת הגוף בתאוצה ma וכיוונו הפוך לכיוון תאוצת הגוף במערכת ייחוס אינרציאלית. כח זה מוכר לכם מסיבוב בקרוסלה. עבור צופה מבחוץ אתם מבצעים תנועה מעגלית ולכן יש לכם תאוצה רדיאלית אל מרכז הקרוסלה. אולם אתם בתוך המערכת המאיצה מרגישים כח מדומה שרוצה למשוך אתכם החוצה בכיוון הפוך למרכז הקרוסלה. אותו דבר אם אתם נוסעים במכונית אשר מאיצה, אתם מרגישים כח הדוחף אתכם אחורה בזמן שהרכב מאיץ קדימה. תחושה זו נוצרת עקב הרצון להתמיד בתנועה קצובה בקו ישר (חוק ההתמדה חוק של ניוטון), אך אין גוף אשר מפעיל אותו עליכם ולכן זהו אינו כח אמיתי. איך משתמשים בכח מדומה? נניח וישנו גוף אשר נע (במהירות קבועה או בתאוצה) במערכת לא אינרציאלית S. מערכת זו נעה בתאוצה a s s ביחס למערכת אינרציאלית S. כדי לתאר את הגוף במערכת ייחוס אינרציאלית S: F i = m a s i a s היא תאוצת הגוף ביחס ל S (מערכת אינרציאלית). כעת, אתם רוצים לתאר את תנועתו של הגוף במערכת לא אינרציאלית S (למשל, אדם הנע בתוך רכבת שמאיצה). כיוון שאתם נמצאים במערכת לא אינרציאלית S, עליכם להוסיף כח מדומה השווה למכפלת מסת הגוף (האדם) בתאוצת המערכת הלא אינרציאלית (תאוצת הרכבת ביחס לקרקע) F imag = m a s s : F i m a s s = m a s i כאשר a s s היא תאוצת S ביחס ל S (תאוצת הרכבת ביחס לקרקע) ו a s היא תאוצת הגוף ביחס ל S (תאוצת האדם ביחס לרכבת). 5

שאלה 425 מסילה, קטע עם חיכוך וקפיץ גוף קטן שמסתו M משוחרר ממנוחה מנקודה, הנמצאית בקצה מסילה אנכית חלקה (חסרת חיכוך) שצורתה רבע מעגל ורדיוסה R. בתחתית המסילה, בנקודה B, מחובר משטח אופקי. בין הגוף למשטח האופקי, לאורך הקטע d, קיים חיכוך שמקדמו הקינטי הוא µ. k בקצה המשטח המחוספס נמצא קפיץ, כאשר הקטע עליו הקפיץ מונח הינו חלק. הקפיץ מחובר אל קיר אנכי, כמתואר בתרשים. הגוף משוחרר מקצה המסילה המעגלית, פוגע בקפיץ וגורם להתכווצות מקסימלית s. א. תנו ביטוי עבור מהירות הגוף ברגע הפגיעה בקפיץ. ב. תנו ביטוי עבור קבוע הקפיץ. ג. עד לאיזה גובה מעל המשטח האופקי יגיע הגוף לאחר שישתחרר מהקפיץ? פתרון א. תנו ביטוי עבור מהירות הגוף ברגע הפגיעה בקפיץ. הגוף משוחרר ממנוחה ולכן מתחיל עם אנרגיה קינטית השווה לאפס. על מנת לדעת את מהירותו בנקודה C מספיק שנדע את האנרגיה הקינטית שלו, ולכן נוכל למעשה למצוא זאת על ידי משפט עבודה אנרגיה: K = W total = W g + W fric נחשב כל אחת מהעבודות בנפרד. עבודת כח הכבידה W g ניתן לחשב בשני דרכים: B W g = F g dl = F g dl = B F g dl + B F g dl mg cos θdl = {dl = Rdθ} = mgr π/2 cos θdθ B F g dl = = mgr sin θ π 2 0 = mgr { Fg = mgĵ; dl = dxî } = mg ĵ îdx = 0 B 0 6

כח הכובד אינו תורם עבודה בחלק בין B ל C מכיוון שהוא אינו משנה את גובהו, ומבחינה מתמטית אנו רואים כי כח הכובד מאונך להעתק הגוף ולכן המכפלה הסקלרית ביניהם היא אפס. דרך שניה היא שימוש בכך שכח הכבידה הוא כח משמר ולכן ניתן להשתמש בקשר בין עבודה להפרש אנרגיה פוטנציאלית. נקבע את אנרגית הכובד להיות שווה לאפס לאורך הישר :BC W g = U g = U g, U g,b U g = mgy U g, = mgr U g,b = 0 W g = mgr כח החיכוך אינו כח משמר, לכן נמצא את W fric ישירות: B B W fric = f dl = f dl = B f dl = B 0 dl = 0 f dl + B f dl { } f = const = f x cos θ = fd cos π = µ k Nd מהחוק השני של ניוטון בקטע BC מקבלים N. = mg לסיכום: K = W g + W fric = mgr mgµ k d = mg (R µ k d) K = K C K = 2 mv2 C 0 v C = 2g (R µ k d) ב. תנו ביטוי עבור קבוע הקפיץ. נאמר לנו כי אורכו הרפוי של הקפיץ מצוי בנקודה C והוא מתכווץ באורך s על ידי הגוף. הכיווץ הוא מקסימלי, כלומר בנקודה זו מהירות הגוף היא אפס. נסמן נקודה זו באות D. נשתמש במשפט עבודה אנרגיה וביטוי עבור אנרגיה פוטנציאלית אלסטית: K = W sp = U sp K D K C = U sp,c U sp,d 7

U sp = 2 kx2 U sp,d = U sp,c + K C K D = 0 + mg (R µ k d) 0 2 ks2 = mg (R µ k d) k = 2mg (R µ kd) s 2 ג. עד לאיזה גובה מעל המשטח האופקי יגיע הגוף לאחר שישתחרר מהקפיץ? ניתן לגשת לפתרון בכמה דרכים. נעשה זאת בעזרת הביטוי עבור שינוי האנרגיה המכנית: E = W nc בין נקודה לבין נקודה G שנגדיר אותה להיות הנקודה המקסימלית אליה מגיע הגוף על גבי הקשת. כח החיכוך הוא הכח היחידי שאינו משמר בבעיה. כאשר הגוף עובר בקטע BC חישבנו שהעבודה היא: mgµ k d אולם בסעיף זה הגוף עובר קטע זה פעמיים ולכן: W fric = 2mgµ k d השינוי באנרגיה המכנית בין שתי נקודות אלו: E = K + U K = K G K = 0 0 = 0 U = U G U = mgh mgr mgh mgr = 2mgµ k d h = R 2µ k d שאלה 48 שרשרת נתונה שרשרת בעלת צפיפות אחידה שמסתה m ואורכה L המונחת על שולחן חסר חיכוך, כאשר רבע מאורכה נשאר תלוי באוויר. כמה עבודה יש להשקיע בכדי למשוך את השרשרת במלואה חזרה לשולחן? פתרון ניתן להסתכל על בעיה דומה בה 2 מסות מחוברות בחוט עם גלגלת. כדי להזיז את המסה על השולחן במהירות קבועה, יש להפעיל כח F אשר שווה למתיחות. מצד שני, המתיחות לאורך "החוט" תהא שווה, מהחוק ה 2 של ניוטון, לכח הכבידה הפועל על המסה התלויה אם 8

אנו מעלים את השרשרת במהירות קבועה. אולם, נשים לב שבמקרה שלנו ככל שחלק השרשרת על גבי השולחן גדל אורך השרשרת התלוי באוויר קטן, ולכן גם המסה (ואיתה כח הכבידה) של החלק התלוי קטנה. כלומר, כאשר מזיזים את השרשרת מרחק x, מסת החלק התלוי m hung קטנה ב. m = λ y השרשרת לא נמתחת ולכן λ) y = x = x x 0 היא צפיפות המסה λ). = m L הכח שנפעיל על השרשרת כדי למשוך ליחידת אורך והיא גודל קבוע השווה ל את השרשרת יהיה תלוי במיקומה: ( ) ( ) L L F (x) = m hung g = λ 4 x g = λ 4 x g כאשר בחרנו את הראשית להיות קצה החוט = 0 0 x. העבודה הדרושה כדי למשוך את השרשרת במלואה חזרה לשולחן היא: W = x f x i F dx = = λg L2 6 W = mgl 32 L 4 0 ( 2 ( ) [ ] L L L λ 4 x g dx = λg 4 x x2 4 2 0 ) = λgl2 32 שאלה 340 מסות על מסה כח F דוחף מסה M על פני מישור אופקי. מסה נעה על גבי מסה M והיא מחוברת באמצעות חוט למסה m 2 התלויה ונמצאית במגע עם M, כפי שמתואר באיור. אין חיכוך בין הגופים. א. מהו הכח F שיגרום למסה לא ליפול? ב. אם הכח גדול פי שניים מהכח שמצאתם בסעיף א, מהי תאוצת כל אחת מהמסות יחסית לגוף M? 9

פתרון א. מהו הכח F שיגרום למסה לא ליפול? על מנת שגוף לא יפול מגוף M צריך שלא תהיה תנועה יחסית בין הגופים. כלומר, גוף ו M נעים באותה תאוצה ימינה a. גוף ו m 2 מחוברים באמצעות אותו החוט (שאינו נמתח או מתכווץ) ולכן הם נעים באותה תאוצה גם, אם כי עבור מדובר בתאוצה אופקית ימינה ועבור m 2 מדובר בתאוצה אנכית כלפי מטה. נרשום משוואת כוחות עבור המערכת המכילה את כל הגופים אשר נעים יחדיו, לשם כך עלינו להתחשב רק בכוחות החיצוניים. מעניינת אותנו התנועה בכיוון האופקי בלבד: Fext = F = ( + m 2 + M) a כדי למצוא את הכח F עלינו למצוא את a. נרשום משוואת כוחות ביחס לקרקע עבור כל אחת מהמסות בנפרד, בכיוון אופקי (ציר חיובי ימינה) עבור ובכיוון אנכי (ציר חיובי כלפי מטה) עבור m: 2 T = a m 2 g T = 0 m 2 g = a a = m 2 g F = m 2g ( + m 2 + M) נציב בביטוי עבור הכח: ב. אם הכח גדול פי שניים מהכח שמצאתם בסעיף א, מהי תאוצת כל אחת מהמסות יחסית לגוף M? נרשום משוואת כוחות עבור כל אחת מהמסות בנפרד. את משוואת הכוחות עבור m 2 ו M נרשום בביחס לקרקע: î : F T N 2 = Ma () î : N = m 2 a (2) ĵ : m 2 g T = m 2 a 2 (3) a 2 היא תאוצת שתי המסות בכיוון אופקי ביחס לקרקע, מאחר והן צמודות ונעות יחדיו. a היא התאוצה בכיוון אנכי. את משוואת הכוחות על נרשום ביחס למסה M (מערכת מואצת) ולכן נצטרך לקחת בחשבון כח מדומה a בכיוון הפוך לתאוצת M: î : T a = a (4) 0

a 2 = אזי a M נעה אף היא עם כיוון ש m 2.M ביחס למסה היא התאוצה של a ולמעשה ביחד עם ידיעת F () + (2) + (4) F = 2 m 2 ( + m 2 + M) g (5) אנחנו מקבלים 5 משוואות עם 5 נעלמים ונוכל למצוא את a: F = ( + m 2 + M) a + a (6) (3) + (4) m 2 g = a + ( + m 2 ) a (7) (7) + m 2 + M m 2 ( + m 2 + M) g = ( + m 2 + M) a + 2 F = m 2 ( + m 2 + M) g 2 F = ( + m 2 + M) a + ( + m ) 2 ( + m 2 + M) a m (8) ( + m 2 + M + 2g F ) a (9) (0) (6) (7 ) () ( 2 F = m 2 + M + ) 2g F a (2) a = 2 F ( m 2 + M + 2g F ) לצורך שלמות הפתרון, נציב שוב את F לקבלת: a = m 2 ( + m 2 + M) g m 2 + M + m2 ( + m 2 + M) = g + m(m2+m) m 2(+m 2+M)